円順列・数珠順列
円順列・数珠順列とは
ものを円形に並べる配列を円順列という。円順列では、適当に回転して並びが一致するものは同じものと考える。円順列の総数を数えるには、次の2つの方法が基本となる。
① 普通の順列を考えて、同じものになる個数で割る
② 1つのものを固定して、他のものの順列を考える
数珠や首飾りのように輪になっているものでは、例えば、右の図の2つは円順列としては異なるが、裏返すと同じ円順列である。このように、環状に並べた配列をじゅず順列という。
円順列・数珠順列の公式
＜円順列 例題１＞
7人から5人を選んで円卓に座らせる方法は何通りあるか。
（解答）
＜円順列 例題２＞
両親と4人の子ども（息子2人、娘2人）が手をつないで輪を作る。
（1） 6人の並び方は全部で何通りあるか。
（2）両親が隣り合う並び方は何通りあるか。
（3）両親が正面に向き合う並び方は何通りあるか。
（4）男性と女性が交互に並ぶ並び方は何通りあるか。
（解答）
（１）６人の円順列なので (６−1) ! ＝ ５ ! ＝１２０通り
（２）両親２人を１組と考えると全部で５人分の円順列となる。また両親の並び方は２通りなので
（３）両親を固定すると残り４人が並ぶ順列（円順列じゃない！）なので
（４）男子は３人、女子３人。
男子３人の間の３箇所に女子が並ぶので女子の並び方は３人の順列で３！
＜正四面体の塗り分け 例題３＞
正四面体の各面に色を塗りたい。ただし、正四面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
（1） 異なる4色すべてを使って塗る方法は何通りあるか。
（2） 異なる3色を使う塗り方のうち、3すべてを使って塗る方法は何通りあるか。
（３）異なる3色のうち使わない色があってもよいとすると、塗り方は何通りあるか。
（解答）
（１） 1つの面をある1色で塗って固定する。
底面を固定したとすると、側面は３個の円順列となる。よって残りの3面を他の3色で塗る方法は（３−１）! =2 通り
よって ２通り
（2） 3色すべてを使う場合，どれか1色で2面を塗ることになる。その色を選ぶのは３通り、
残りの2面を他の2色で塗った時、それらは回転させると互いに一致するので１通り。
よって、3色をすべて使う場合の塗り方の総数は３通り
（３）①３色全てを使う場合：（２）より３通り
②２色で塗る場合：2色の選び方は３通り
(a)1色を2面、もう1色を残りの2面に塗る場合その塗り方は １通り
(b)1色を3面、もう1色を残りの1面に塗る場合：２通り
したがって２色で塗る場合は ９通り
③1色で塗る場合：１色の選び方は３通り
①〜③より ３＋９＋３＝１５通り
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