約数の数・約数の和

正の整数Aが　A=p^kq^lr^m　と素因数分解される時

個数は　(k+1)(l+1)(m+1)個

和は　(1+p+p^2+・・・p^k)(1+q+q^2+・・・q^l)(1+r+r^2+・・・r^m)

（１）次の式を展開すると異なる項は何個あるか。

①　(a+b)(x+y+z)

②　(a+b+c)(x+y)^2

（２）5400の正の約数の個数とその約数の和を求めよ。

また、5400の約数のうち、奇数は何個か。

＜（１）の解答＞

①の解答

2\times3=6　個

②の解答

(a+b+c)(x+y)^2=(a+b+c)(x^2+2xy+y^2) なので　3\times 3=9個

＜（２）の解答＞

5400を素因数分解すると、5400=2^3\cdot3^3\cdot5^2　なので

約数の個数は　(3+1)\times(3+1)\times(2+1)=48　個

約数の和は　(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2+3^3)(1+5+5^2)=15\times40\times31=1860

また奇数になるのは２を含まない約数なので　3^3\times5^2の組み合わせとなりその個数は

(3+1)\times(2+1)=12　個

100円、50円、10円の３種類の硬貨をどれも使って、420円ちょうどにするには、各硬貨を何枚ずつ使えばよいか。ただし、使用する硬貨は全部で15枚以下とする。

（解答）

どの硬貨も使うので、それぞれ１個ずつを除いた金額で考える。すなわち

100\times1+50\times1+10\times1=160　 より　420-160=260円で考える

100円、50円、10円の枚数をそれぞれ、x,y,z枚とする。

100x+50y+10z=260　—①

x+y+z≦15-3　—②

①より　10x=26-(5x+z)≦26 　　(\because　5x+z≧0)　よってx≦2.6

xは0以上の整数だから、xの取りうる値はx=0,1,2の３つ。

<1> 　x=2のとき　5y+z=26-10x=6

これを満たす０以上の整数y,zの組は

(y,z)=(0,6),(1,1)

これは　②式の　y+z≦12-x=10を満たす。

＜２＞　 $x=1$ のとき　 $5y+z=26-10x=1$

これを満たす０以上でy+z≦12-x=11を満たす整数y,zの組は

(y,z)=(2,6),(3,1)

＜３＞　 $x=0$ のとき　 $5y+z=26-10x=2$

これを満たす０以上でy+z≦12-x=12を満たす整数y,zの組は

(y,z)=(4,6),(5,1)

<1>～<3>より(x,y,z)=(2,0,6),(2,1,1),(1,2,6),(1,3,1),(0,4,6),(0,5,1)

したがって、使用する硬貨の枚数を100円をa枚、50円をb枚、10円をc枚とすると

(a,b,c)=(x+1.y+1,z+1)=(3,1,7),(3,2,2),(2,3,7),(2,4,2),(1,5,7),(1,6,2)

約数の個数・和